Partie C : bilan

En 1649, Alphonse de Sarasa écrit que les aires étudiées par Grégoire de Saint-Vincent « peuvent servir de logarithmes ».

1. En s'appuyant sur les observations réalisées, justifier la proposition d'Alphonse de Sarasa.
2. En reprenant les notations de la partie B, identifier plusieurs domaines dont l'aire correspondrait à \(\text{ln}(2)\).

On souhaite déterminer une valeur approchée de \(\text{ln}(2)\). Dans la figure suivante sont représentés dans un repère orthogonal :

• l'hyperbole représentative de la fonction inverse ;
  
• les points \(\text{A}\) et \(\text{B}\) d'abscisses respectives \(1\) et \(2\) appartenant à la courbe ;
  
• les points \(\text{C}\) et \(\text{D}\) de l'axe des abscisses d'abscisses respectives \(2\) et \(1\).
  

Le quadrilatère \(\text{ABCD}\) est un trapèze rectangle.
3. Calculer l'aire de \(\text{ABCD}\) et justifier qu'il s'agit d'une valeur approchée de \(\text{ln}(2)\).
4. Comparer la valeur trouvée à celle affichée par la calculatrice. Conjecturer une méthode pour obtenir une valeur plus précise.
5. Déterminer une valeur approchée de \(\text{ln}(3)\). On pourra se servir de la propriété \(\text{ln}(a\times b)=\text{ln}(a)+\text{ln}(b)\) pour obtenir une meilleure approximation.